При обсуждениях различных публикаций на «Русской народной линии», посвященных вопросам биологической эволюции, биосемиотического аргумента в пользу дизайна живых систем и др., комментарии читателей затрагивали вопросы физики рассматриваемых процессов, в частности термодинамики и статистической механики.

Мне кажется, что в обсуждениях нужно стараться формулировать корректные утверждения, особенно если учесть, что верующие в каком-то смысле не имеют права на ошибку в полемике, касающейся естественных наук. Как только мы неоправданно огрубляем выводы, искажения становятся неизбежными. И, как результат, мы теряем кредит доверия в дискуссиях по естественнонаучным вопросам. В этом вряд ли стоит винить наших оппонентов.

Тем не менее, эти вопросы мне представляются важными не столько в плане техническом, сколько в плане научно-философском. В связи с этим, без того, чтобы напрасно терять время на бесполезные, на мой взгляд, форумные обсуждения, в этой записке мне хотелось бы кратко привести выжимку из термодинамики и статистической физики и затем немного обсудить её с религиозно-философской точки зрения.

Первый раздел содержит множество научных терминов и формулировки различных теорем. Поэтому читатели, не заинтересованные в деталях, могут спокойно их пропустить и перейти к разделу 2, посвященному попытке религиозно-философской интерпретации естественно-научных данных термодинамики и статистической физики, приведенных мной в первом разделе.

1.     Краткий экскурс в термодинамику и статистическую физику

 

Термодинамика - этораздел физики, изучающий наиболее общие свойства макроскопических систем и способы передачи и превращения энергии в таких системах. В термодинамике изучаются состояния и процессы, для описания которых можно ввести понятие температуры.

В термодинамике различают макроскопическое и микроскопическое состояния. Макроскопическое состояние характеризуется немногим числом термодинамических параметров (давлением, объемом, температурой, энтропией и др.), а также такими механическими величинами, как положение центра масс, скорость центра масс и др. Именно макроскопические величины, характеризующие состояние в целом, имеют практическое значение.

Микроскопическое состояние характеризуется в общем случае заданием координат и скоростей (или импульсов) всех частиц, составляющих систему (макроскопическое тело). Это более детальная характеристика системы, знание которой совсем не требуется для описания процессов на макроскопическом уровне. Более того, знание микросостояния фактически недостижимо из-за огромного числа частиц, из которых состоятмакроскопические тела. Каждому микросостоянию ставится в соответствие точка в фазовом пространстве обобщенных координат и импульсов частиц системы. Совокупность макроскопически одинаковых систем, распределенных по допустимым микросостояниям с заданной плотностью, называют статистическим ансамблем. Фазовые точки, изображающие ансамбль, с течением времениперемещаются в фазовом пространстве подобно течению жидкости безисточников и стоков, подчиняющемуся уравнению непрерывности, что совместно с уравнениями движения дает теорему Лиувилля: функция плотности (функция распределения) не меняется вдоль фазовой траектории, то есть при движении системы в фазовом пространстве сохраняется её фазовый объём.

Вполне очевидно, что определенное макросостояние может быть реализовано огромным числом различных микросостояний. Так, например, переход одной молекулы из данной точки пространства в другую точку или изменение её скорости в результате столкновения изменяют микросостояние системы, но, конечно, не меняют термодинамических параметров и, следовательно, макросостояния системы.

 

1.1.          Нулевое (общее) начало термодинамики

 

Нулевоеначало термодинамики - это постулат о существовании так называемого термодинамического равновесия. Термодинамическое равновесие - состояние системы, при котором остаются неизменными по времени макроскопические величины этой системы (температура, давление, объём, энтропия) в условиях изолированности от окружающей среды. В общем, эти величины не являются постоянными, они лишь флуктуируют (колеблются) возле своих средних значений. Если равновесной системе соответствует несколько состояний, в каждом из которых система может находиться неопределенно долго, то о системе говорят, что она находится в метастабильном равновесии. В состоянии равновесия в системе отсутствуют потоки материи или энергии, неравновесные потенциалы (или движущие силы), изменения количества присутствующих фаз (фазовое равновесие). Отличают тепловое (статистическое, оно же термодинамическое равновесие), механическое, гидроаэромеханическое (гидродинамическое, гидростатическое), радиационное (лучистое) и химическое равновесия. Нулевойзакон имеет вероятностный характер; статистическое рассмотрениетермодинамической системы указывает на неизбежность флуктуаций.Состояние термодинамического равновесия называется устойчивым, если в этом состоянии не происходит изменения макроскопических параметров системы. Критерием устойчивости равновесия для изолированной (абсолютно не взаимодействующей с окружающей средой) системы является максимум энтропии.

Замечу, что изолированность термодинамической системы - это идеализация. В реальности идеально изолированных от среды систем не существует. На практике условие изолированности означает, что процессы установления равновесия в системе протекают гораздо быстрее, чем происходят изменения на ее границах (то есть изменения внешних по отношению к системе условий) и осуществляется обмен системы с окружением веществом и энергией. Иными словами, термодинамическое равновесие достигается, если скорость релаксационных процессов достаточно велика (как правило, это характерно для высокотемпературных процессов) либо велико время для достижения равновесия (этот случай имеет место в геологических процессах).

В реальных процессах часто реализуется неполное (относительное, подвижное, динамическое) равновесие, однако степень этой неполноты может быть существенной и несущественной.

Заметим в скобках, что нулевое начало, несмотря на то, что оно справедливово многих случаях, может и не выполняться. Справедливость его, например, далеко не очевидна для всей вселенной в целом. Вопрос о применимости выводов классической термодинамики для вселенной далеко не прост. В целом ряде источников, которые я просмотрел, утверждается, что термодинамическая энтропиядля всей вселенной по целому ряду причин не имеет никакого физического смысла. Об этом я ещё скажу. Пока же важно осознать, что не всякая система на практике может моделироваться термодинамической системой в классическом смысле.

 

1.2.          Первое начало термодинамики

 

Первое начало термодинамики представляет собой закон сохранения энергии для термодинамических систем. В любой изолированной системе запас энергии остаётся постоянным. Иными словами,количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение работы против внешних сил.

 

1.3.          Второе начало термодинамики

 

Второе начало термодинамики - физический принцип, накладывающий ограничение на направление процессов, которые могут происходить в термодинамических системах.

Второе начало термодинамики запрещает так называемые вечные двигатели второго рода, показывая, что коэффициент полезного действия не может равняться единице, поскольку для кругового процесса температура холодильника не может равняться абсолютному нулю (невозможно построить замкнутый цикл, проходящий через точку с нулевой температурой).

Второе начало термодинамики является постулатом, не доказываемым в рамках классической термодинамики. Оно было сформулировано на основе обобщения опытных фактов и получило многочисленные экспериментальные подтверждения. Второе начало связано с понятием термодинамической энтропии - особой функции макросостояния, мерой необратимого рассеяния энергии. Несмотря на то, что энтропия выражается через процессы, она является функцией состояния, то есть каждому состоянию соответствует определённое её значение. Однако в классической термодинамике она определена с точностью до константы, и выбор состояния с нулевым значением условен. Основываясь на третьем начале термодинамики (см. ниже), за нулевое значение энтропии принимают таковое у системы с температурой, равной абсолютному нулю.

Статистическая физика связывает энтропию с вероятностью осуществления макроскопического состояния системы знаменитым соотношением Больцмана «энтропия - вероятность»:

S=k *ln W,

где W - термодинамическая вероятность осуществления данного состояния, а k - постоянная Больцмана. Прошу заметить, что физический смысл термодинамической вероятности - так называемого статистического веса - несколько иной, нежели математической вероятности: статистический вес является безразмерным целым числом, большим или равным единице, W>=1 (предельный случай W = 1 соответствует нулевой энтропии при абсолютном нуле температуры). Статистический вес  означает число микросостояний, соответствующих фиксированному макросостоянию. Он, конечно, связан с обычной вероятностью.

Статистический смысл второго начала состоит в том, что с течением времени изолированная система переходит из менее вероятного состояния в более вероятное. Чрезвычайно важно иметь в виду, что второе начало имеет статистический характер и формулируется для большого числа частиц вещества на достаточно больших интервалах времени (малое число частиц содержится в элементарном объеме dV; для отдельной частицы функции энтропии, температуры и др. не определены). По достижении термодинамического равновесия изолированная система перестает изменять свое макроскопическое состояние, в то время каквеличины, характеризующие макросостояние, не являются постоянными, они флуктуируют (колеблются) возле своих средних значений. Наличие кратковременных локальных флуктуаций в изолированных системах никак не противоречит второму началу. Эту тему я затрону далее более подробно. В практических расчетах флуктуациями часто пренебрегают (разумеется, там, где это оправдано). Итак, по достижении равновесного состояния, энтропия изолированной системы перестает возрастать, флуктуируя около своего максимального значения.

То, что энтропия имеет максимум, а не возрастает бесконечно, как ошибочно утверждают некоторые комментаторы, видно из определения энтропии через статистический вес: S = k * lnW. Для данного макросостояния (пусть и равновесного), существует конечное число микросостояний W, которые описываются данным набором макропараметров (температура, объем, плотность, энтропия, давление). Значит и логарифм этого числа также ограничен. Из информационной энтропии, связанной с энтропией термодинамической,это также видно. Максимум информационной энтропии достигается при условии, когда все микросостояния равновероятны (хаотическое состояние вещества, равновесное термодинамическое состояние). При этом условии при реализации данного микросостояния наблюдатель получает максимум информации. Здесь имеет местоаналогия с броском честной монеты.При выпадении либо орла, либо решки наблюдатель получает ровно 1 бит информации. Если монета снабжена грузиком с одной стороны, то очередной бросок не добавляет никакой новой информации, так как в этом случае можно предвидеть исходбросков заранее.

На нулевом, первом и втором начале построена классическая термодинамика.

 

1.4.          Третье начало термодинамики

 

Третье начало термодинамики - физический принцип, определяющий поведение энтропии при приближении температуры к абсолютному нулю. Третье начало, как и второе, является одним из постулатов термодинамики, принимаемым на основе обобщения значительного количества экспериментальных данных.Приращение энтропии при абсолютном нуле температуры стремится к конечному пределу, не зависящему от того, в каком равновесном состоянии находится система.Третье начало термодинамики относится только к равновесным состояниям.Поскольку на основе второго начала термодинамики энтропию можно определить только с точностью до произвольной аддитивной постоянной (то есть определяется не сама энтропия, а только её изменение), третье начало термодинамики может быть использовано для точного определения энтропии. При этом энтропию равновесной системы при абсолютном нуле температуры считают равной нулю.

Третье начало термодинамики позволяет находить абсолютное значение энтропии, что нельзя сделать в рамках классической термодинамики (на основе первого и второго начал термодинамики). В классической термодинамике энтропия может быть определена лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной, что не мешает термодинамическим исследованиям, так как измеряется лишь разность энтропий. Согласно третьему началу термодинамики, при температуре T, стремящейся к  0,изменение энтропии также стремитсяк 0.

 

1.5.          Статистическая механика и флуктуации состояния

 

В отличие от термодинамики статистическая механика рассматривает специальный класс процессов - флуктуации, при которых система переходит из более вероятных состояний в менее вероятные и вследствие этого её энтропия уменьшается. Наличие флуктуаций показывает, что закон неубывания энтропии для изолированных систем (второе начало) выполняется только статистически: в среднем для большого промежутка времени.

Распространено мнение, что закон неубывания энтропии, действуя в масштабах вселенной, должен вести к постепенному достижению так называемой тепловой смерти - общемирового хаоса, в котором невозможен более никакой термодинамический процесс. Сторонники подобной точки зрения упускают из внимания тот момент, что вселенная не является не только изолированной термодинамической системой, она вообще не является никакойтермодинамической системой, поскольку для неё не справедливо нулевое начало.То есть введение температуры для всей вселенной не имеет физического смысла и корректно не отражает всех тех процессов, которые реально имеют место. По современным представлениям (см. например, модель Фридмана), вселенная нестационарна и гравитирует, а поэтому допущения классической термодинамики не справедливы для всей вселенной в целом.

 

1.6.          Парадоксы Цермело и Лошмидта

 

Множество копий ломается по поводу так называемой возвращаемости. Что имеется в виду? В соответствии с общим началом термодинамики процесс установления равновесия в замкнутой системе необратим: рассеяние энергии во внутреннюю энергию (хаотическое движение молекул вещества) не может быть обращено. Однако уравнение Лиувилля обратимо во времени: если обратить импульсы всех частиц системы, то частицы вещества должны возвратиться в свои начальные положения. Кроме того, финитноедвижение (движение в ограниченном объеме)обладает периодичностью (циклы Пуанкаре), что такжеприводит к видимому противоречию с понятием равновесия. Этипротиворечия обычно формулируются в виде парадоксов:

• Парадокс возвращаемости (Пуанкаре, Цермело): механическая консервативная система (то есть система, для которой работа неконсервативных сил равна нулю и выполняется закон сохранения механической энергии системы), совершающая финитное движение, по истечении некоторого времени проходит через состояния, сколь угодно близкие к начальному (и сколь угоднодалекие от равновесия). Это утверждение было доказано ещеГиббсом, затем более строго Пуанкаре. Всоответствии с ним газ, все молекулы которого в начальный моментнаходились в одной половине сосуда, через определенное времявернётся в такое же состояние.
• Парадокс обратимости (Лошмидта): в результате обращениявремени (скоростей частиц системы) в момент t0 + t система через времяt возвращается в состояние (необязательно равновесное) с начальнойпространственной конфигурацией, соответствующей моменту t0.

В курсе термодинамики и статистической физики [4] говорится следующее: «Возможно, что это не парадоксы, а правильные утверждения,косвенным свидетельством чему служит явление спинового эха,когда после обращения направления движения магнитных моментовчастиц при помощи манипуляций магнитными полями система черезнекоторое время оказывается в состоянии с неравновесным суммарныммагнитным моментом[...]. В любом случае нужно иметь в виду замечания Больцмана на эти парадоксы: «долго же придется ждать» и «попробуйте их повернуть». Здесь имеется в виду, что длительность цикла Пуанкаре больших систем намного превышает возраст Вселенной и что практически невозможно точно обратить скорости молекул (и их частей) без изменения их положений».

 

 

 

1.7.          Эргодическая гипотеза

 

Возвращение имеет место для систем, для которых справедлива так называемая эргодическая гипотеза, то естьпредположение о том, что средние по времени значения физических величин, характеризующих систему, равны их средним статистическим значениям. Эта гипотеза служит для обоснования статистической физики. Для эргодических систем математическое ожидание по временным рядам должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам. Для расчёта/определения параметров системы можно долго наблюдать за поведением одного её элемента, а можно за очень короткое время рассмотреть все её элементы (или достаточно много элементов). В обоих случаях получатся одинаковые результаты, если система обладает свойством эргодичности.

 

1.8.          Флуктуацииэнтропии в изолированных термодинамических системах

 

Как я уже не раз указывал, современная трактовка второго начала термодинамики является статистической. Это означает, что второе начало выполняется лишь в среднем на достаточно длительных интервалах времени. Следовательно, кратковременные флуктуационные отклонения энтропии от максимальных значений, соответствующих равновесным состояниям, в сторону уменьшения теоретически возможны! По этому поводу существуют утверждения статистической физики в форме так называемых H-теоремы Больцмана и теоремы о флуктуациях. Эти теоремы предсказывают кратковременные флуктуации энтропии в изолированных термодинамических системах. Причем теорема о флуктуациях вообще не делает различия между макро- и микрофлуктуациями. Иными словами, эта теорема математическивыражает вероятность того, что энтропия в данной системе будет уменьшаться, то есть изменяться в сторону, противоположную той, которая диктуется вторым началом! В соответствии с этой теоремой, отношение вероятности реализации фазовойтраектории, характеризующейся производством А единиц энтропии за время tк вероятности реализации фазовой траектории, характеризующейся потреблением такого же количества энтропии за то же время, составляет e^A.

Флуктуационные отклонения от тренда, предписываемого вторым началом, не только предсказываются статистической физикой, но и имеют место на практике. Например, в статьях [1-2], доступных в полнотекстовом виде в интернете, описываются конкретные эксперименты, в которых детектируются флуктуационные эффекты. В частности, в [1] отношение числа фазовых траекторий малой частицы вещества в коллоидном водяном растворе, для которых наблюдалось флуктуационное понижение энтропии, к числу фазовых траекторий, характеризующихся повышением энтропии, составляло в начальный момент времени около 1. Затем это отношение быстро убывало до 0. Время релаксации составляло порядка 3 секунд.

Таким образом, отклонения поведения энтропии от второго начала лишь кратковременны и тем менее вероятны, чем большие флуктуации рассматриваются. 

2.     Попытка религиозно-философского осмысления результатов научного моделирования

 

Что касается самого научного моделирования, то корректная научная модельобязательно отразит реальностьтам, где это возможно, в том масштабе и на том интервале времени, на котором это возможно. А экспериментальная среда, позволяющая контролировать условия эксперимента, позволяет и пронаблюдать эффект, предсказываемый корректной моделью, именно потому, что мы можем управлять её параметрами. По этой причине выдающийся американский физик Ю.Вигнер говорил, что как раз в экспериментальных условиях вся мощь физикии проявляется наиболее отчетливо. В реальности все предсказания моделирования выполняются, разумеется, но не всегда и не в такой полной мере, как в лаборатории, вследствие того, что реальность сложнее и «грязнее» модели. С другой стороны, чем более точна модель, тем она более она включает деталей, от которых менее точные модели абстрагируются. Если, например, в модель, предсказывающую сколь угодно близкое возвращение к начальному состоянию системы, внести наличие шумов как фундаментальное свойство уравнений движения, то из такой модели, вероятно, уже не будет следовать эффект возвращения. И тем не менее, флуктуационные эффекты реально наблюдаемы.Но дело не только во флуктуациях. Дело в том, что в науке бывает так, что она приходит к выводам, которые вступают в противоречие с нашим повседневным опытом. К таким выводам относится, например, утверждение о том, что период колебаний математического маятника не зависит от массы, или утверждение о том, что два тела разной массы отпущенные с нулевой начальной скоростью с одинаковой высоты, упадут на землю одновременно, если пренебречь сопротивлением воздуха.

Еще один важный момент состоит в том, что в статистической механике нет какого-то принципиального разделения на макро- и микрофлуктуации. С т.зр. модели, разница только в масштабе (и, соответственно, в вероятностях конкретных событий). Конечно, проконтролировать выполнение предсказаний гигантских флуктуаций не представится возможным никогда, и предсказания таких масштабов -скорее из области философии. И тем не менее, это матмодель, и к выводам из неё нужно просто спокойно относиться как к выводам из любой другой модели. Просто когда делаются те или иные философские выводы по результатам моделирования, имеющие целью перечеркнуть основания веры в Творца, нам нужно быть внимательным и не поддаваться на провокации.

Итак, что вытекает из всех этих научных словес? Во-первых, то, что научно доказать существование Божие невозможно. В противном случае пришлось бы признать, что наука обладает религиознымстатусом. И наша видимая «победа» обратилась бы в полное фиаско, ведь именно на исключительной роли науки в мировоззрении и настаивают материалисты!С другой стороны, Бог не насилует свободную волю человека, что, на мой взгляд, выражается, помимо прочего, еще и в том, что не существует научного доказательства бытия духовного мира. Нет никакой теоремы, которая бы с силой неоспоримого научного доказательства говорила бы о существовании Бога и в каком-то смысле рационально принуждала бы тем самым признатьЕго. Верить или не верить - нравственная прерогатива человека, за которую в своё время всем людям без исключения придется отвечать. И наконец, утверждение о существовании такого доказательства абсолютизировало бы возможности логических рассуждений, но у нас нет никаких оснований для подобной абсолютизации рацио, особенно после Гёделя, который математически обосновал невыразимость понятия истинности средствами математики.Он пришел к такому выводу, оперируя особыми математическими объектами, называемыми формальными системами, позволяющими рассматривать аксиомы и правила вывода одних суждений из других, максимально абстрагируясь от смыслового наполнения суждений.

Мы должны помнить, что наука принципиально несамодостаточна и имеет строго очерченный круг компетенции. У неё нет права отвечать на вопросы о смысле мироздания, об объективности истины и о цели жизни. Как только кто-либо силится подвести научные основания под ответы на эти и подобные им вопросы (неважно, со знаком «плюс» или со знаком «минус»), можно сразу сказать, что он совершает ошибку.

Наука - это всего-навсего способ упорядочения наших знаний об окружающем материальном мире, снабженный набором правил формулирования непротиворечивых логических суждений о доступной нашим органам чувств реальности. Никакой полноты покрытия всей существующей реальности научнымимоделями сама наука не гарантирует. Предположение о такой полноте вообще ниоткуда не следует. Это предположение не научное, а философское по своей сути.

Безусловно, в том, что касается прагматического обустройства земной жизни, всевозможных удобств человека общества потребления наука дает нам ряд преимуществ (хотя и они оборачиваются существенными потерями, начиная с загрязнения окружающей среды и кончая невиданными доселе этическими и нравственными проблемами, вызванными развитием биомедицинских технологий).

Наука никакой объективной истины о мире не открывает, хотя бы потому, что само понятие истинности невыразимо на её языке. Говорят: практика- критерий истины. Но это и много, и мало. Истина неуловима научными средствами: в науке неизбежны парадоксы, неразрешимости, всевозможные частные случаи, которые не запихнёшь в «теорию всего». И хотя наука дает средства ставить и последовательнорешатьпроблемы научного описания материальной действительности, никто не обещал, что когда-либо можно будет решить все поставленные проблемы. До сих пор наблюдалось как раз обратное: с каждым решённым вопросом вставал целый ряд новых проблем, разрастающийся, как снежный ком. Так что научники гоняются за тенью в платоновской пещере, обещая докопаться до истины, но не имея средств выполнить своё обещание. Справедливости ради нужно отметить, что послегёделевская наука сама признаёт ограниченность своих возможностей.

Науканейтральна относительно нематериального и не может быть поводырем в духовной жизни человека. Она способна лишь подвести ученого к признанию существования духовного мира, помочь ему через созерцание красоты тваривплотную приблизиться к созерцанию всеблагого Источника этой красоты. Однаконравственный свободный выбор всегда остается за человеком. Иначе пришлось бы сказать, что неверующие физики плохо учились термодинамике в институте. Другая крайность, а крайности всегда сходятся, - утверждать, что спасение понимаемое как полнота бытия в единении с Богомпринадлежит только клубу избранных, например, нобелевским лауреатам по физике.

Какими бы общими ни были материальные закономерности, устанавливаемые научным методом, наука не выявляет законы бытия тварного мира. На мой взгляд, например, неверно говорить о том, что второе начало термодинамики есть закон бытия.Рациональному познанию доступна лишь внешняя сторона явлений, но не природа вещей, остающаяся по существу тайной для нашего ума (об этом см. напр., [6]). Я не оспариваю общий и повсеместный характер того же второго начала термодинамики, но все же закон бытия, в отличие, скажем, от закона всемирного тяготения - это духовная категория. Закон бытия есть закон нравственный, данный Богом Его Церкви в Откровении (сначала ветхозаветной, впоследствиии новозаветной). Нравственность предполагает правильную веру - веру Церкви, поскольку угодить Богу без правой веры невозможно. И уж тем более, невозможно Ему угодить не имея никакой веры или имея лишь веру «на всякий случай», как выражался один мой знакомый. Те, кто погрешает в вере, не могут вести богоугодной нравственной жизни. Но и одной веры для спасения недостаточно. Об этом свидетельствует Священное Предание Церкви.

Итак, совершают ошибку те материалисты, кто, как им кажется, на основании науки, занимающейся исключительно материальными категориями, приходят к ложному выводу о том, что материя и есть всё, что объективно существует.  Такие люди напоминают человека из известной шутки, который, потеряв ночью часы, искал их под фонарём, потому что «там лучше видно».Ведь никакая наука не дает им права утверждать об отсутствии духовной реальности только на основании того, что ее невозможно измерить вольтметром.

Но столь же грубую ошибку совершают и те, кто утверждает, что сама наука способна доказать бытие духовной реальности. Духовная реальность недоказуема уже просто постольку, поскольку она превышает материальное. Ни одна научная модель неспособна вместить Бога. Утверждающие обратное похожи на древних пифагорейцев, провозглашавших, что божественная сущность есть число, или евномиан, говоривших, что Бог познаваем рассудочным путём. Напротив, Бог и Его промысл о мире остается неописуем на языке науки. Духовная реальность не доказуется, она показуется, опытно свидетельствуется. Поэтому чрезвычайно важно заниматься не столько научной или иной умственной деятельностью, сколько благочестием, которое «на всё полезно» (1 Тим. 4:8), по словам св. апостола Павла.

Литература

1.    Wang, G. M.; Sevick, E. M.; Mittag, Emil; Searles, Debra J.; Evans, Denis J. (2002). "Experimental Demonstration of Violations of the Second Law of Thermodynamics for Small Systems and Short Time Scales". Physical Review Letters. 89 (5). Bibcode:2002PhRvL..89e0601W. doi:10.1103/PhysRevLett.89.050601. ISSN 0031-9007.

2.    Carberry, D. M.; Reid, J. C.; Wang, G. M.; Sevick, E. M.; Searles, Debra J.; Evans, Denis J. (2004). "Fluctuations and Irreversibility: An Experimental Demonstration of a Second-Law-Like Theorem Using a Colloidal Particle Held in an Optical Trap". Physical Review Letters. 92 (14). Bibcode:2004PhRvL..92n0601C. doi:10.1103/PhysRevLett.92.140601. ISSN 0031-9007.

3.    Eugene Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences.

4.    Л.К.Аминов«Термодинамика и статистическая физика», Казанский ун-т, 2015 г.

5.    Д.В. Сивухин «Общий курс физики». Термодинамика и молекулярная физика, том 2, М., Наука, 1990, 591 с.

6.    Митр. Вениамин (Федченков), «О вере, неверии и сомнении», ч.2, «Умобоязнь».

7.    Википедия. Различные статьи по термодинамике и статистической физике.