В поисках трона «Царицы наук»

-Уважаемый Семён Вениаминович, не стану утверждать, что до сих пор вы уделяли математике недостаточно внимания. И всё же, если не возражаете, давайте посвятим настоящую беседу исключительно её связи с наукой.

- Что ж, не возражаю. Самые общие соображения о характере такой связи я, помнится, уже высказывал:[1] он зависит от своеобразия мировосприятия того, кто её использует. Англичанину Фарадею, к примеру, при исследованиях электрических и магнитных явлений было вполне достаточно наглядных геометрических построений и простейших арифметических расчётов, в то время как его коллеги во Франции никак не могли обойтись без дифференциального исчисления. А вот наши с вами обсуждения уже давно происходят, если можно так выразиться, под знаком вездесущего смыслового соединения,[2] так что здесь свои особенности. Впрочем, не знаю, ощущаете ли вы это сами?

- Временами такое действительно происходит. Для меня, например, настоящим потрясением стало осознание того, что воплощённая простота - «дважды два - четыре» - может оказаться вовсе не результатом сокращённого сложения, а проявлением мира парного соединения,[3] где понятие «интенсивность» приобретает предельно чёткий математический смысл в любой сфере: от физики до экономики.

- Меня, естественно, не может не радовать ваше признание. Кстати, раз уж вы упомянули мир парного соединения, в который нас с вами как-то ввела энергия смысла, не могу не отметить одно из универсальных его проявлений, которое, будучи не одно столетие известным науке, до сих пор остаётся ею не осмысленным. Достаточно учесть для начала, что в мире, о котором идёт речь, в абстракции числа обычно свёрнута конкретность точки.

- Я уже, кажется, твёрдо усвоила, что эта конкретность определяется неповторимостью направлений, центром которых является точка.[4]

- Совершенно верно. Но это, представьте себе, далеко не всё. Будучи связанной парным соединением с бесконечным множеством точек, любая из них в однородном и изотропном пространстве остаётся, тем не менее, независимым потенциальным началом действия. Реализация этого её свойства подтверждается выявленным ещё Галилеем принципом суперпозиции. Кстати, его проявление нетрудно обнаружить в полевых и волновых явлениях: каждый точечный заряд создаёт свою собственную напряжённость, проявляемую в суммарной напряжённости поля, которому он принадлежит; каждая из волн распространяется в среде независимо от других, как если бы их и не существовало.

- Мне об этом принципе известно, но я бы никогда не предположила, что он связан с одной-единственной точкой.

- Тем не менее, это так. Правда, если понятие «связь» отнести в данном случае не к самому принципу, а к реальному существованию точки, то откроются весьма любопытные вещи, относящиеся непосредственно к смысловой интерпретации парного соединения.

- Что вы имеете в виду?

- Всего лишь то, что каждая точка в нём, соединяясь с другой, оказывается ещё и связанной с ней, стало быть, лишена той свободы, которую имела бы, будучи совершенно обособленной. Так что приводимая вами в одной из наших бесед аксиома Евклида[5] позволяет вывести численное отношение свободы и связанности в парном соединении в виде дроби (1+1)/1.

- То есть, как я понимаю, в числителе здесь число точек, а в знаменателе число связей, которых на одну меньше, чем точек?

- Именно так. Причём, нетрудно видеть, что это соотношение сохранится, если одна из точек (назовем её «первой») образует парные соединения с множеством n других. В этом случае мы получим отношение (1+n)/n, где n в числителе - число точек, с которыми она связана, а n в знаменателе - число таких связей (оно, как вы поняли, равно числу образованных ею пар). А теперь попытаемся обратить внимание на сугубо смысловой характер этого отношения. Для вас ведь такой подход уже не является новым?

- Однако, насколько я помню, вы предлагали к обсуждению смысл целостного числа - 5, и энергия смысла его, как я поняла, могла быть выражена вовне степенным рядом: 5¹, 5², 5³, 5 ⁴, 5 ⁵ и т. д.[6] Здесь же вообще не число, а алгебраическое выражение, где n может к тому же принимать разные значения.

- Я рад, что вы это запомнили, и полностью разделяю ваши сомнения. Полученное отношение действительно пока остаётся всего лишь «заготовкой» для выражения фундаментальной закономерности, хотя, являясь реальным, оно, в принципе, могло бы тоже быть выражено вовне посредством степенного ряда, в котором показатель степени всё то же n - количество развёрток, равных числу связей и возрастающих вместе с их числом. Вообще правомерность обозначения здесь одним лишь символом «n» совершенно разных объектов обусловлена тем, что все они связаны с одним и тем же натуральным рядом чисел. Остаётся вспомнить, что в действительности мы имеем здесь дело с бесконечностью, поскольку и реально связываемых точек, и связей между ними, и самих развёрток бесконечное множество. А это значит, что выраженный вовне реальный эффект рассмотренного нами свойства может быть найден в соответствии со строгими правилами теории пределов. И если мы предварительно приведём данное отношение к привычному для математиков виду (1+1/n), то получим не что иное, как выражение «второго замечательного предела»:

lim (1 + 1/n)ⁿ = e

n→∞

Могу напомнить, что е относится к трансцендентным числам; приближённое его значение 2,718281828... Таким образом мы пришли к истинному смыслу знаменитого Неперова числа - основания натуральных логарифмов, или, в сфере функций, - основания экспоненты.

- Такая трактовка мне кажется интересной; тем более, она вписывается в царство «точки-бесконечности», на реальности которого вы настаиваете.[7] Связано ли это как-либо с вашим, насколько я помню, заключением о выходе человеческого разума с помощью математики к фундаменту мира аддитивности?[8]

- Конечно, связано - достаточно лишь обратить внимание на особенности экспоненты, проявляемые в аппарате математического анализа. Ведь её основание, как вы убедились, находится вне пределов такого мира, отсюда и устойчивость функции е^х по отношению к самомý этому аппарату: постоянство в качестве производной любого порядка; почётное представительство в корнях дифференциальных уравнений. Это просто объясняется, но уже не формально - с помощью чисто математических преобразований, а исходя из анализа реального бытия точки.

- Мне ваши объяснения понятны, тем не менее, давать им оценку от имени математиков не берусь. Зато интересно узнать, в чём, по-вашему, в таком случае, смысл процессов, развивающихся по экспоненте?

- Осмысление здесь простое. Первая («активная») точка, с которой начинается свободно протекающий процесс, мгновенно (а точнее, вне времени) демонстрирует устойчивую связь с бесконечным множеством других точек, реальный эффект (результат) которой выражен числом е, и лишь затем во всём своеобразии формирования пространственно-временных отношений и структуры причинно-следственных связей (это отражено в показателе при е) начинается осуществление самого процесса в любой сфере (будь то физика или экономика), который можно описать формулой, уравнением, а подчас, и словесной (понятийной) конструкцией. Следовательно, основание экспоненты - естественное начало потенциальной интенсивности любого процесса в природе.

- Действительно, математика позволяет выявить любые, самые скрытые закономерности, и они рано или поздно обнаружат себя в реальности.

- Я бы не стал слишком преувеличивать роль математики в осмыслении мироздания, хотя, как уже упоминал не раз, всё зависит от особенностей мировосприятия. Давайте я, в связи с этим, процитирую такого непререкаемого авторитета, как многократно упоминаемый в предыдущих беседах Макс Борн: «Математика ... представляет собой обнаружение и исследование структур мышления. Эти структуры зашифрованы в виде математических символов...». Далее Борн перечисляет некоторые главные структуры, применяемые в арифметике, геометрии, алгебре, затем следует его заключение: «Перечисленные структуры являются структурами чистого мышления. Переход к реальности совершается теоретической физикой, которая коррелирует символы с наблюдаемыми явлениями. Там, где это может быть сделано, зашифрованная структура соотносится с явлением; эти же самые структуры рассматриваются физиками как объективная реальность "по ту сторону субъективных явлений"».

- Откровенно говоря, я из всего этого пока лишь уяснила, что математика, по утверждению Борна, соединяет мышление с объективной реальностью.

- Действительно, это стержень всего высказывания. А вообще-то Борн исходит из того, что восприятие реальности сугубо индивидуально, стало быть, субъективно; избавиться от этого позволяет использование однозначных математических символов, в которых зашифрованы, по его мнению, структуры мышления человека. Математическая модель - определённым образом упорядоченная система таких символов - соотносится естествоиспытателем непосредственно с наблюдаемым явлением. Их соответствие даёт ему основание считать полученные при этом результаты адекватным отражением объективной реальности.

- И вам, как я понимаю, такая трактовка кажется некорректной?

- Я убеждён в её ошибочности. Ведь, согласитесь, Борн обнаруживает основания объективности мира непосредственно в психике человека, а уж математические это символы или художественные образы - не столь важно. Из этого следует, что картина мира, по Борну, будет строиться не иначе, как по образу и подобию человеческого разума, о чём вы от меня слышали не раз.[9]

- Не могу с вами согласиться. Борн, как я поняла, исходит из того, что математической структурой обладает не только мышление человека, но и наблюдаемые им явления. Отсюда его убеждённость в возможности рассматривать результаты её расшифровки как объективную реальность.

- Вы совершенно правильно разобрались в обстановке; она как раз и отражает убеждённость физиков ХХ века, окончательно закрепившую их нерушимую преданность математике: вся полнота математических структур, выявленных посредством человеческого мышления, присуща самой реальности, следовательно, может быть в принципе обнаружена опытным путём. Именно это определило дух «бури и натиска», охвативший сферу фундаментальной физики, сделало критерием истинности упоминавшийся в наших беседах уровень «безумности» теории, по Бору.[10] Вера в самодостаточность математики превращала её в умах физиков в непререкаемый источник объективного знания. Так что кризис, давно назревающий в фундаментальной физике, порождён, по сути, именно попытками отождествить реальный мир, исполненный изначально осмысленного созидательного действия, с миром лишённых жизни математических абстракций. И это, несмотря на то, что владения самόй «царицы наук» оказались весьма далекими от благополучия, причём, это стало совершенно ясно её непосредственным подданным.

- Что вы имеете в виду?

- То, что для математиков проблема заключалась в необходимости обнаружить основания математики в ней самόй. Вот они в конце сороковых и решили предпринять поиски начал, которые вылились в острую дискуссию между «формалистами» и «интуитивистами». Один из её участников Джон фон Нейман (между прочим, автор математического обоснования квантовой механики) вынужден был позже с горечью признать, что в течение этой дискуссии трижды менял свои убеждения. В итоге выявилось, что любые попытки решить проблему обречены на неудачу: дело в том, что непротиворечивость математической системы (как, впрочем, и всякой другой) невозможно доказать или опровергнуть средствами самой системы.

- Но это, по-моему, ещё не доказывает неправомерности нынешней связи физики с математикой. Вероятно, возможны и другие подходы. Может быть, проще начать с происхождения не математических систем, а непосредственно чисел?

- Увы, здесь мы попадаем, как говорится, из огня да в полымя. Разноречивость мнений на этот счет в период триумфа «царицы наук» XIX века в среде самих математиков была поистине поразительна. Карл Гаусс, к примеру, заявлял: «Мы должны со всей покорностью признать, что число есть не что иное, как продукт нашего мышления», между тем как суждение Шарля Эрмита было полярно противоположным: «Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольным созданием нашего разума <...> мы их встречаем, или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи». Общеизвестно заявление Леопольда Кронéкера: «Бог создал натуральные числа, всё остальное - дело рук человеческих»; поэтому закоренелым еретиком ему виделся Георг Кантор со своей теорией множеств, отражающих реальность многообразия в природе. По Кантору, любое число оказывается всего лишь свойством быть определённым множеством.

- Да, и здесь полная разноголосица. А у вас какие соображения на этот счёт?

- Представьте себе, они достаточно просты, если вспомнить, что мы с вами несколько бесед посвятили рассмотрению различных аспектов бытия точки, числовым символом которой является единица (1), используя представление об энергии смысла. [11 ]Я даже напомню, что это позволило предложить решение ряда таких проблем, доныне существующих в физике, как расшифровка мировых феноменологических постоянных.[12] При этом, обратите внимание, за пределы натурального числового ряда мы с вами не выходили (использование «нуля» в качестве символа отсутствия в выражении n⁰ = 1 не в счёт).[13] Это, на мой взгляд, служит доказательством, что натуральный ряд чисел представляет собой математическую структуру, принадлежащую смысловой стихии мироздания.

- С этим, как мне кажется, трудно не согласиться.

- Не торопитесь комментировать, я пока изложил лишь первую часть проблемы. Далее речь пойдет уже о человеческом опыте и его осмыслении. Здесь также всё очень просто. Любой человек, с детства осваивающий счётность предметов, достаточно легко оказывается в царстве чисел. Вначале ему становится ясно, что всякая вещь в нём превращается в единицу. Очень скоро он начинает воспринимать, как непосредственно данное, и числовую последовательность - создающий в этом царстве порядок числовой ряд, состоящий из таких единиц и неспроста называемый натуральным (natūra - «природа»).

- И здесь мне всё ясно. В чём же в таком случае проблема?

- Проблема в тайне единоначалия, разрешить которую человеческому разуму не под силу.

- Но ведь раньше уже шла речь о единоначалии (при обсуждении энергии смысла), и вы как будто эту тайну разгадали с помощью математики?

- Вы, по-видимому, имеете в виду всё то же выражение n⁰=1, свидетельствующее о результате свёртки любого числа n в единицу, то есть о неуничтожимости единоначалия, как, впрочем, и самого бытия? Благодаря его использованию упомянутая тайна действительно явилась нам в математическом выражении, но не более того. А вы попытайтесь просто подумать об «одном». Не о единице счета, не о цифре, не о слове, и, конечно же, не о точке, а о самóм «одном». Вы можете себе его представить?

- Дайте сосредоточиться. Так... «Одно» неотрывно от любой вещи... Если же всё на свете соединить, тогда это будет «одна Вселенная», но опять-таки не само «одно»... Поскольку оно и величиной не является, и формы не имеет, я не могу его представить. Оно может быть только при чём-то другом, и вместе с тем само вообще не умещается в сознании. Выходит, что самогó его просто не может быть!

- Необходимо уточнить: его самогó не может быть для нас с вами, как, впрочем, и для любого человека, поскольку о нём действительно невозможно даже помыслить. Однако «одно» именуется в любом языке, и вы его назвали и даже обнаружили буквально во всём. Остаётся признать, что, будучи выше мыслимости человека, оно вполне закономерно становится предметом мистической веры, причём, в христианстве - это вера не в некую абстракцию, а во вполне конкретного Бога-Отца, за которым православное богословие признаёт лишь ему присущее свойство - Он нерождённый, в отличие от рождённого - Сына. Это, надеюсь, вам понятно?

- Я поняла, тем самым, подтверждается невозможность втиснуть целиком смысловую стихию мироздания в человеческий разум, и мы волей-неволей выходим за пределы научного познания, так?

- Совершенно верно. Так же, как всюдность и вечность, заключённые в бытии точки,[14] вездесущность и неуничтожимость единоначалия останутся на веки вечные тайной для человеческого ума, что, однако, не только не снижает возможности познания им мира, но, наоборот, многократно увеличивает их, открывая новые, ранее невиданные горизонты для его совершенствования.

- Хорошо, но каково же в таком случае, по-вашему, место математики непосредственно в человеческом мышлении?

- Представьте себе, оно такое же, каким видится Борну. Разница лишь в том, что если в смысловой стихии мироздания «зашифрованы» в математической символике особенности самогó мироздания, то в структурах человеческого мышления - лишь те, что соответствуют сугубо человеческому опыту, как в сфере материальной деятельности, так и мыслительной, включая рефлексию (обращённость к собственному разуму) и трансцендирование (попытки выхода вовне - за его пределы).

- В таком случае нетрудно убедиться, что в натуральном ряде чисел действительно выражено полное совпадение математической структуры, как порожденной человеческим опытом, так и принадлежащей самому мирозданию.

- Я искренне рад вашему выводу; впрочем, он не потребовал от вас особых усилий. Обратите внимание, мы с вами, как в предыдущих обсуждениях, так и в сегодняшнем, прошлись, что называется, «по верхам», использовав всего лишь представление о парном соединении.[15]

- Выходит, такое объяснение в очередной раз подтверждает провозглашённую вами нерасторжимость связи «единицы» с «точкой».[16] А нельзя ли отнести натуральный числовой ряд в сочетании с парным соединением к первичным математическим структурам?

- Это, конечно, интересная мысль, вполне достойная стать предметом серьезной дискуссии. Она, по-своему, перекликается с взглядами упоминаемого выше Кронекера - он вообще был твёрдо уверен в необходимости арифметизации самой математики, следовательно, отказа, от такого, например, понятия, как отрицательное число. А как вы сами к нему относитесь?

- Так же, как и все, - считаю его полезным и необходимым.

- Это ясно; по крайней мере, в научном обиходе обойтись сейчас без таких чисел просто невозможно. Но ведь появились они сперва у самих математиков в процессе решения линейных уравнений, где (+) и ( - ) были всего лишь знаками действия. Между прочим, не все спешили вводить такие числа, но постепенно привыкли, причём, не только «чистые» математики. Вопрос, однако, в том, являются ли отрицательные числа лишь плодами человеческого опыта, или же ещё и принадлежностью смысловой стихии мироздания?

- Мне пока трудно сориентироваться. А вы сами как считаете?

- Ответ мой следует непосредственно из утверждения (я на него не раз ссылался) о неуничтожимости бытия. В теории множеств существование отрицательных чисел обусловлено всего лишь их симметрией натуральным числам относительно нуля. Вообще-то следует обратить внимание на особую смысловую наполненность нуля, связанную вовсе не с числовым рядом, а с многозначностью его символичности в истории развития человеческой мысли. Помимо уже упоминаемого сегодня значения «нуля» в качестве символа отсутствия значимого порядка мерности, необходимо отметить, что в древнеиндийской математике в числе целых пятнадцати понятий, обозначаемых нулём, были такие, как «пустота», «небо», «бесконечность». Могу добавить, что в широко используемом в нашей речевой стихии выражении «начни с нуля», как, впрочем, и в цифре «0» на левом краю мерной линейки, выражено не что иное, как символ начала процедуры измерения (отсчёта). Что же касается присвоения знака ( + ) или ( - ) какой-либо численной величине при наличии любой двойственности («вперёд» - «назад», «по часовой стрелке» - «против часовой стрелки» и пр.), связанной с ориентацией в однородном и изотропном пространстве, либо оценкой тех или иных явлений (процессов), то они носят целиком условный характер и в любом случае не выходят за пределы опыта, даже если речь идет о таких устоявшихся понятиях, как, скажем, «знак заряда». Всё это не даёт достаточных оснований для использования представлений об отрицательных числах в теоретических построениях, относящихся к трактовке основ мироздания; следовательно, таковые необходимо отнести к ложным.

- Хотя я и не имела никогда дела непосредственно с такими построениями, думаю, что ваше заявление слишком уж безапелляционно.

- Давайте обратимся к вещам элементарным. Представьте, вам предлагают найти длину стороны квадрата, чья площадь составляет один квадратный метр; естественно, она равна одному метру (линейному). Формально решение выглядит как (1)^1/2 = ± 1. Вы, конечно, выберете первое значение (с плюсом), а про второе скажете, что оно лишено смысла.

- Естественно, ведь линии со знаком «минус» не существует, так что отрицательное значение оказалось бесполезным.

- Обращаю ваше внимание на то, что вы здесь выбираете «плюс» вполне осознанно. Но значит ли это, что число (- 1) всегда бесполезно?

- Этого я утверждать не могу.

- Не сомневаюсь в вашей искренности, однако, полной определённости в таком ответе нет. Зато она имеется у математиков, которые, решая квадратные уравнения, давным-давно обнаружили это число под радикалом (-1)^1/2, открыв, таким образом, мир мнимых чисел, как «окрестил» их Декарт. После этого, в противовес им, другие числа, включая, естественно, и отрицательные, стали называть действительными или вещественными. Более того, в процессе решения кубических уравнений обнаружилось существование чисел, состоящих из двух частей - действительной и мнимой, которые получили наименование комплексных.

- Все эти математические структуры становились, конечно, же смысловыми. Вы хотите сказать, что вопрос в том, оказались ли они полезными в физике?

- Здесь нет вопроса: комплексные числа по сей день применяются в теории упругости, аэродинамике, электротехнике, и т. д. - там, где выражено опосредствование человеком мира в пределах опыта, который он стремится в меру осмысления преобразовывать.

- Но ведь, насколько я понимаю, это же соответствует и общей стратегии науки.

- Совершенно верно. Вы, по существу, присоединяетесь к мнению Гейзенберга, связывавшего развитие науки всего лишь с приспособлением нашего мышления к постоянно развивающемуся полю опыта.

- Ну да. Вы сами как-то уже приводили именно это его высказывание.[17] И в чём, по-вашему, здесь проблема, связанная непосредственно с математикой?

- Проблема - в неоправданности попыток нынешней науки приспособить структуру самого мироздания к смысловым структурам, поставляемых человеческим сознанием, то есть опять-таки формировать картину мира по образу и подобию своего ума. Одной из первых попыток такого рода явилось создание пространственно-временнóй модели с наличием в её математической интерпретации мнимого числа (я имею в виду временнýю компоненту мира Минковского-Эйнштейна);[18] уже одно это необратимо исказило истинную картину мироздания, так что продолжать данную тему, на мой взгляд, не имеет смысла - она исчерпана. Надеюсь, наша беседа, хотя и не имеет, казалось бы, прямого отношения к проблемам энергетики, информации к размышлению содержит достаточно.

Журнал Президиума РАН «Энергия: экономика, техника, экология»,

2011. № 5. С. 63 - 69.

Примечания:

[1] У истоков динамичности пространства. Энергия... 2007. № 10. С. 69.

[2] Энергия смысла и основы мироздания. Энергия... 2008. №3, С. 69.

[3] Там же. С. 72.

[4] См. сноску [1] С. 69.

[5] См. сноску [2] С. 71.

[6] См.сноску [2] С. 70.

[7] Да будет свет! Энергия... 2007. № 3. С. 60.

[8] См. сноску [2] С. 71.

[9] О соблазнах ушедшего века и вызовах наступившего. Энергия... 2008. № 9. С. 76.

Возвращаясь к проблеме эфира. Энергия... 2008. № 11. С. 73.

[10] См. сноску [9] 1) С. 75; 2) С. 79.

[11] Да будет свет! Энергия... 2007. № 3. С. 59.

Энергия смысла и основы мироздания. Энергия... 2008. № 3. С. 70.

[12] На пути к познанию природы светового кванта. Энергия... 2006. № 6. С. 66;

У истоков динамичности пространства. Энергия... 2007. № 10. С. .71;

Снова в гости к пространству. Энергия... 2008. № 5. С. 74.

[13] См.сноску [2] С. 70.

[14] У истоков динамичности пространства. Энергия... 2007. № 3. С. 59;

Снова в гости к пространству. Энергия... 2008. № 5. С. 73.

[15] Энергия смысла и основы мироздания. Энергия... 2008. № 3. С. 72 - 73;

Снова в гости к пространству. Энергия... 2008. № 5. С. 74 - 75.

[16] См. сноску [2] С. 70.

[17] Снова в гости к пространству. Энергия... 2008. № 5. С. 72.

[18] Альберт Эйнштейн - Колумб в физике. Энергия... 2005. №11. С. 67.