Анатолий Кузнецов родился 31 декабря 1930 года в Москве в семье певца Бориса Кузнецова. Учился на вокальном отделении музыкального училища им. М.М.Ипполитова-Иванова. В 1951 году перешёл в Школу-студию им. В.И.Немировича-Данченко при МХАТ, которую окончил в 1955 году (курс А.М.Карева). С 1958 года — актёр Театра-студии киноактёра.
Впервые на экране Анатолий Кузнецов появился в фильме «Опасные тропы» в 1954-м году. В течение нескольких лет сыграл в таких фильмах, как «Гость с Кубани», «За витриной универмага», «Друг мой, Колька», «Дайте жалобную книгу».
В 1969 году Анатолий Борисович сыграл «культовую» роль красноармейца Сухова в картине Владимира Мотыля «Белое солнце пустыни». Фильм по праву считается одним из самых известных в истории советского кинематографа, а фразы героев устойчиво вошли в разговорный русский язык и стали крылатыми.
Всего за свою карьеру Анатолий Кузнецов сыграл около 100 ролей в кино, в том числе в таких картинах как «Горячий снег», «Битва за Москву», «На углу, у Патриарших», «Участок», «Турецкий гамбит», «Мосгаз».
Анатолий Борисович Кузнецов - лауреат Государственной премии в области литературы и искусства. Также награжден Орденом Почета, Орденом Дружбы, Орденом «За заслуги перед Отечеством» IV степени.
Союз кинематографистов России и Гильдия актеров кино России приносят соболезнования родным, близким и почитателям таланта актера.
Гражданская панихида пройдет 13-го марта в 12-00 в Доме кино СК России (Москва, ул. Васильевская, д. 13). Похоронен актер будет на Новодевичьем кладбище в Москве.